ІІІ. ТОЧКОВІ ДЕФЕКТИ У ТВЕРДИХ ТІЛАХ

 

§1 Види точкових дефектів

           

Точкові дефекти можуть бути власними (структурними) і домішковими: вакансії, міжвузлові атоми і атоми домішки.

            Вакансія – при видаленні атома із його нормального положення у вузлі кристалічної гратки.

            Міжвузловий атом, що утиснувся між атомами гратки, які знаходяться у вузлах.

            Атоми розглядаються як жорсткі кулі.

            Навколо вакансії зсув сусідніх атомів дуже невеликий і складає частки міжатомної відстані (~2%). Навколо міжвузлового атома у щільній упаковці  зсув сусідів більший (~10%). Швидке затухання атомних зсувів при віддаленні від точкового дефекту означає, що міжатомні сили є силами близькодії, які різко спадають при збільшенні відстані. Оскільки вакансія намагається стягнути гратку навколо себе, то її слід розглядати як цент усебічного розтягу. Міжвузловий атом – це центр напружень стиснення.

 

            §2 Термодинаміка точкових дефектів

 

            Точкові дефекти підвищують енергію кристала, тому що на утворення кожного дефекту була витрачена енергія.

            Теоретичні розрахунки показують, що evac»1 еВ, eва~3¸4 еВ. Незважаючи на збільшення внутрішньої енергії при утворенні вакансії і міжвузлових атомів, кристал у рівноважному стані повинен містити певну кількість власних точкових дефектів. На перший погляд це вважається дивним! Але...

            Вільна енергія F дефективного кристала має minimum

 

.                                                          (1)

 

Uвнутрішня енергія кристала, Sйого ентропія. Утворення дефектів приводить до зростання U і зростання S. При заданій температурі Т другий доданок в (1) змінюється швидше U, тому F понижується.

            При уведенні n вакансій у кристал F змінюється на:

 

                                                       (2)

 

Припускаючи, що вакансій мало і вони не взаємодіють, тоді:

 

.                                                         (3)

 

При уведенні вакансій зростання ентропії DS складається із двох складових – конфігураційної і коливальної ентропії. По визначенню

 

                                                             

 

де kБ – стала Больцмана, Wчисло мікростанів або термодинамічна ймовірність даного макрос тану кристала.

            Якщо ідеальний кристал складається із N однакових атомів, і якщо атоми поміняти місцями, то нічого (структура) не зміниться. Замінивши усього один атом на вакансію, ми збільшуємо число можливих структурних конфігурацій з 1 до N (вакансія може знаходитись у будь-якому із N вузлів гратки).

            Для n вакансія число структурних конфігурацій (число способів їх розміщення) дорівнює:

 

При n=0 A=1, при n=1 A=N  і т.д.

Вакансії можна розглядати як “домішку” у кристалі, тоді маємо конфігураційну ентропію або ентропію зміщення:

 

                                                     (5)

 

                                                            (6)

 

де  - коливальна ентропія при утворенні 1-ї вакансії (Навколо вакансії сусіди пов’язані менш жорстко, пружні модулі менше, і частоти коливань атомів, що оточують вакансію, нижче. Число ймовірних мікро станів зростає).

            Отже:

 

                           (7)

 

            Використаємо наближену формулу Стерлінга ():

 

 

.               (8)

 

Із умови min

,

 

,

 

Із-за того, що N>>n, то  - рівноважна концентрація вакансій

 

.                                             (9)

 

.           У металах з г.ц.к. граткою . Для них

 

     (на 1 атом)                                        (10)

 

ця формула показує, що концентрація вакансій повинна сильно залежати від Т. Наприклад, якщо =1,1 еВ, то

 

 

Т, Ко

300

700

1100

1350

Сvac

10-19

10-8

10-5

10-4

 

 

Цей вивід (10) справедливий і для міжвузлових атомів.

 

 

§3 Визначення  для металів 

 

             Розглянемо процес випаровування металу як процес створення нових поверхонь радіусом r0.

            Теплота випаровування або енергія сублімації q можна записати у вигляді:

 

                                                              (11)

 

де  - площа поверхні атома (або вакансії);

s0 – поверхневий натяг плоскої поверхні;

 - поверхневий натяг поверхні позитивної кривизни ;

d - стала.

 

 


           

 


Рис. 1. Зліва – метал з вакансією (сферичною порожниною), зправа – атом в вакумі

 

 

Із багатьох експериментів відомо, що комбінація величин

 

                                                            (12)

є постійною.

 

 

Елемент

q, еВ

, еВ

a

Li

1,60

0,95

0,60

Na

1,10

0,68

0,63

Ag

2,88

2,01

0,70

Au

3,77

2,43

0,64

In

2,45

1,50

0,61

 

 

Значення a ». Це означає, що у (11) рівність виконується при . Покажемо, це:

,  

 

                                                                      (13)

Таким чином, ми знайшли d. Тепер визначимо  як роботу по створенню із малої неоднорідності сферичної порожнини - вакансії радіусом r0 у пружному континуумі

 

,

 

де Р(r) – тиск Лапласа в пухирці радіусом r:

 

,

де t - механічна напруга. По визначенню

 

  ,  ,    ,  

 

 

Тепер

 

.

 

.                                                            (14)

Використовуючи результат (13) і дані таблиці, формула (14) з точністю 20-30 процентів дає узгодження з експериментом!!!

 

 

 

 

Рис.2 Кластер з трьох вакансій

 

§4 Міграція вакансій

 

Атоми здійснюють коливальний рух і безперервно обмінюються енергією. Через хаотичність теплового руху енергія нерівномірно розподілена між атомами. Атом може отримати такий надлишок енергії, що займе сусіднє положення у гратці, якщо воно вільне – це міграція.

            Цей надлишок енергії він втрачає, протискуючись у нове положення. Висота бар’єра Uм називається енергією міграції або енергією активації міграції вакансії (рис.3а).

 

 

 

 

Рис.3

            Якщо амплітуда одного з атомів біля вакансії перевищить b/2, то атом перевалить через потенційний бар’єр і спуститься у суміжну потенційну яму в х=b, тобто атом і вакансія обмінюються місцями. Суміжний атом коливається з частотою g=gD (частота Дебая) а енергію Uм може віднайти з ймовірністю . Тому середня частота переходів вакансії

 

.                                                        (1)

 

            За час , поки атом проходить перевал, збурювання встигає дійти не далі  (С0 – швидкість звука). Тому майже уся енергія Uм кінетична – вона належить самому атому, що мігрує, і n його сусідам, що “запирають” бар’єр. Щоб “відкрити” перевал, їх треба розсунути, як на Рис.3б, на якому n=2. В г.ц.к. гратці n=6.

            Перевал відкривається на час . Щоб проскочити перевал за цей час, мігруючий атом масою m повинен здобути швидкість  і кінетичну енергію . Тоді енергія активації , >>, оскільки при тій же частоті амплітуда мігруючого атома набагато більша, ніж інших. Підставивши

 

   і ,

отримаємо:

                                                              (2)

 

Елемент

Li

Na

Ag

Au

In

TD/Tпл

0,760

0,426

0,183

0,123

0,254

 

           

Розрахунки по (2) з точністю 15-20% узгоджуються з експериментом.

 

 

Рис.4

 

§5 Самодифузія мічених атомів-ізотопів

 

            Знаючи частоту n і енергію UM можна описати температурну залежність самодифузії мічених атомів-ізотопів. Дифузійний потік речовини

 

                                                         (3)

Dкоефіцієнт дифузії, С – концентрація ізотопів. У одномірному випадку .

 

Рис.5

            Виразимо D через константи кристала. Розглянемо два суміжні атомні шари (100) у простій кубічній ґратці з періодом b.

 

C1 - концентрація ізотопів у шарі 1;

С2 - концентрація ізотопів у шарі 2.

 

.

 

С3 - ймовірність, що вузли напроти ізотопів вільні (це ймовірність утворення вакансії).

Тоді даний атом може переходити у цей же вузол із шару 1 у 2 і навпаки з частотою

 

.

 

Припустимо, що кожен шар має площу S. На ній N=S/b2 атомів, із них у шарі і буде Ni=CiS/b2  атомів ізотопів у тому числі С3Ni мають поряд вакансію. Швидкість переходів мічених атомів із шару 1 у шар 2:

 

і навпаки

 

 

            Результуючий потік вздовж осі Х:

 

 

               (4)

 

Підставивши об’єм на один атом W=b3  і   , отримаємо:

 

.                                                       (5)

 

Порівнюючи (5) і (3), отримаємо мікроскопічний запис коефіцієнта самодифузії:

 

 

                                                         (6)

 

Використовуючи вираз для ймовірності утворення вакансії  із попередньої лекції, знаходимо:

 

.

 

Порівнюючи з відомою із експерименту залежністю

 

 

знаходимо , а енергія активації самодифузії:

 

.                                                           (7)

 

 

§6 Міграція домішкових атомів (джерела і витоки точкових дефектів)

 

            Атоми домішок заміщення мігрують за допомогою вакансійного механізму так же як і атоми основного металу, але акти міграції виникають рідше, бо ймовірність знаходження вакансій поряд з атомом домішки безумовно менша, ніж ймовірність перебування вакансій поряд з атомами основного металу.

            У маленьких атомів домішок проникнення міграція більша (через те, що по міжвузлам!).

            Вакансії утворюються: а)у результаті флуктуацій енергії при хаотичному тепловому русі атомів; б) при пластичній деформації; в) при ядерному опроміненні і т.п.

            Теплові вакансії утворюються за механізмом Шотткі: атом поверхневого шару, одержуючи надмір енергії від сусідів, випаровується із кристала або, що ще легше, переходить в адсорбційний шар, а поверхнева вакансія мігрує в об’єм. Джерело теплових вакансій – вільні поверхня кристала, пустоти, тріщини, межі зерен, дислокації.

            При опроміненні металів частками з великою енергією, атоми вибиваються із вузлів гратки, в результаті чого утворюється френкелівська параміжвузловий атом і вакансія.

            Із всіх стоків тільки дислокація діє на вакансію на більших відстанях (х>>b) – через пружне поле. Для х>>b справедливе рівняння дифузії потоку вакансій:

 

.

           

Коефіцієнт Du отримуємо так, як і (6), з тією лиш різницею, що для міграції вакансії не потрібно, щоб у суміжному вузлі також була вакансія. Тому замість (6) залишається

 

                                                          (8)

 

Із порівняння (8) і (6) виходить, що

і Du не на багато порядків більше, ніж самодифузія, за рахунок того, що не витрачається час на очікування вакансії у суміжному вузлі.

            При взаємодії між собою точкові дефекти одного або різних видів можуть об’єднуватись у пари і більш крупні комплекси, що називаються кластерами вакансій. Найпростіший приклад: при випадкових зіткненнях двох одиночних вакансій, вони об’єднуються у пару – дівакансію – кластер із двох вакансій.

 

 

Рис.6 Дівакансія

 

§7 Радіаційні дефекти

 

 

            Атом у гратці має енергію зв’язку ~10 еВ.  При зіткненні із часткою, яка має енергію , можна знехтувати взаємодією атома з граткою і вважати зіткнення пружними. Найбільша енергія передається, коли пружний удар центральний. Частка з т і енергією U передає атому масою М енергію , котра визначається із збереження імпульсу і енергії:

 

                                                                   (1)

Щоб атом покинув вузол гратки у заданому довільному напрямку і з такою швидкістю, що всі сусідні атоми ще не встигнуть зміститися, йому потрібна енергія  у декілька разів більша енергії сублімації - звичайно 25 еВ. Нижче цієї енергії () радіаційних пошкоджень не буде. Граничне значення енергії частки , достатнє для народження дефектів, залежить від її маси т. Так, у міді =25 еВ, і з формули (1) для нейтронів і протонів (=64) і гранична енергія ~0,4 кеВ, для елeктpoнів і гамма-променів (=64•1837)  ~0,7 МеВ, а для важких іонів  (=1) - усього ~23еВ. Для інших металів значення  змінюються майже пропорційно атомній масі М, оскільки в (1) М/т>1.

«Теплові» нейтрони з енергією U<1 еВ пошкоджують гратку, викликаючи ядерні реакції. В цих реакціях народжуються гамма-кванти з енергією U близько 1 МеВ, але головна частина енергії ділення (—дефект маси) припадає на осколки ділення (U 235, наприклад, може дати два ядра з енергією 137 і 55 МеВ).

Глибину проникнення L частки високої енергії у речовину визначають дві величини: ймовірність її зіткнення з атомом (середній пробіг між зіткненнями ) і енергія , що віддається у одному зіткненні.

Ймовірність зіткнення для незаряджених часток набагато менша через те, що відсутні далекодіючі кулонівські сили. Тому при тій же енергіїU=2 МеВ і масі у нейтрона в міді пробіг між зіткненнями ~5 см; у протона ~0,04 см, а у іона - осколка ділення (заряд  ~6) усього 10 .

В кожному із зіткнень частка втрачає одну й ту ж частину енергії: відношення в (1)  залежить тільки від відношення мас. Викривлення гратки припиняться, коли частка після п зіткнень досягає енергії ; пройде шлях L. Тому глибше проникають в метал легкі (), а особливо – незаряджені частки - нейтрони.

Електрон і протон збуджують електрони провідності іонного остова. При цьому вони втрачають стільки енергії, що для другого зіткнення її не вистачає (). гамма-квант відразу віддає всю енергію електрону, тобто .

Таким чином, опромінювання важкими іонами і протонами пошкоджую поверхневий шар на глибину 0,01-10 мкм; швидкими електронами і гамма-променями - на 1-10 мм, а швидкими нейтронами – практично рівномірно по всій товщі металу.

При зіткненні електрона або гамма-кванта звичайно енергія  створює одну пару вакансія – міжвузловий атом, а залишок  розсіюється в тепло. Важкі частки передають одному атому енергію . Такий атом віддачі після зіткнення з іншими атомами породжує розгалужений ланцюг -  каскад зіткнень.  Для самої грубої оцінки події в каскаді уподібнюють локальному плавленню. Так, якщо один швидкий нейтрон (=2 МеВ) в міді передає атому віддачі енергію =50 еВ, то її достатньо для плавлення об’єму n=5-105 атомів. Із  об’єму поперечником  енергія відводиться коливаннями гратки, тобто зі швидкістю звуку с, за час t~d/c~10-11 с. Після настільки різкого гартування залишається ~102 вакансій (і однакове число міжвузлів атомів (МА), оскільки об’єм ізольований).

Порядок величини для числа точкових дефектів тут вірний, але у дійсності каскад не ізотропний, а витягнутий «по ходу» атома віддачі (рис.7), і розміщення МА, а також вакансій у ньому неоднорідне. Все це істотно змінює наступне перегрупування і кінетику витоку точкових дефектів. Спочатку числовим моделюванням, а потім і прямим експериментом на монокристалах були виявлені два ефекта, що визначили реальну будову каскаду: це аномальне пропускання часток вздовж напрямків щільного упакування (каналювання) і спонтанне стягування траекторій атомів до цих напрямків (фокусування зіткнень). При великій енергії частки U можливо її зближення з атомом до таких малих відстаней r, що вздовж атомних рядів залишаються “просвіти”, де частка летить без зіткнень.

Каналювання – перспективний інструмент фізики твердого тіла і фізики високих енергій. На частку з зарядом електрона е усередині каналу діє електричне поле напруженістю  В/м. Якщо кристал пружно вигинати, то це поле зможе зігнути траєкторію частки (з масою т і швидкістю ) по радіусу . Каналюючи у пружно вигнутому монокристалі кремнію, пучок протонів від синхрофазотрона з енергією 8 ГеВ вигинався по радіусу R =38 см, тоді як у магнітному полі синхрофазотрона досягається лиш ~10 м.

Каналювання дозволяє визначити тип міжвузла, який займає домішка проникнення. Канали вздовж різних кристалографічних осей  проходять через різні міжвузли. Порівнюючи ослаблення каналювання для різних  після уведення домішки, встановили, наприклад, що кисень у танталі і у ніобії займає октаедричні міжвузли, а вуглець у паладії – тетраедричні.

 

 

 

 

Рис. 7  Каскад зіткнень, породжений атомом віддачі високої енергії:

МА - міжвузловий атом; V - вакансія

 

При фокусуванні імпульс передається вздовж напрямку щільної упаковки  і по ланцюжку атомів рівної маси. Така відокремлена хвиля у ланцюжку (фокусон) розповсюджується із надзвуковою швидкістю. Останній атом (на поверхні) вилетить із кристала у напрямку I, і тому при розпиленні кристала пучком іонів більшість атомів вилітає у напрямках щільної упаковки. Усередині метала фокусон втрачає енергію у “дотиках” з атомами, що оточують ланцюжок, і зупиняється після пробігу ~10-6см, коли його швидкість  порівняється із швидкістю звуку с (залишок енергії розсіюється хвилею зміщень у гратці, тобто теплопровідністю).

Вибитий із вузла атом рухається, а вакансія залишається біля місця старту. Тому каскад зіткнень – деревоис. 7): вакансії сидять біля “кореня”, а між вузлові атоми – на кінцівках гілок. Первинний “атом віддачі, отримавши енергію  віддає у кожному зіткненні половину енергії (М/м=1) і зупиниться через n=log2(Uкр/U2)£10 зіткнень. Таким чином, поперечник каскаду зіткнень nмкм. Гілки каскаду переплітаються, так що по деяким оцінкам до половини пар МА-V анігілюють миттєво, при зростанні каскаду. Усі ніші рознесені далеко: так, після опромінення вольфраму іонами  (20 кеВ) біля “кореня” дерева авто іонний мікроскоп виявляє у 10—20 разів більше вакансій, ніж міжвузлових атомів – інші  МА розбіглися на 45-150  навколо них.

 

Зміни у металі тривають і після насичення. По-перше, через анігіляцію дефектів “різного знаку” незабаром залишаються лиш групи “одноіменних дефектів”, які ростуть. По-друге, при пошкодженні нейтронами виникають також ядерні реакції ділення і загальне число атомів у гратці зростає (тверде розпухання урану може досягати  2-3%).

 

 

§8 Види дислокацій

 

 

            Низькі значення критичної сколюючої напруги, яку ми спостерігаємо, можна пояснити, вважаючи що у гратці рухається особливого типу лінійна недосконалість структури, відома під назвою дислокації. Ідея про те, що ковзання здійснюється за допомогою руху дислокацій, була опублікована у 1934 р. Незалежно Тейлором, Орованом і Поляні; у фізику поняття дислокації було уведено декілька раніше Прандтлем і Делінгером.

            Є декілька основних типів дислокації. Спочатку ми зупинимося на описанні крайової дислокації. На рис.9 зображено простий кубічний кристал, у якому в лівій частині площині ковзання виник зсув на одну міжатомну відстань; у правій частині цього не відбулося. Межа між тією частиною, де зсув виник, і тією частиною, де він не відбувся, називається дислокацією. ЇЇ положення вказується краєм “лишньої” вертикальної на півплощини атомів, які згущаються у верхній половині кристала, як показано на рис.10. Поблизу дислокації кристал сильно деформований. Проста крайова дислокація необмежено простирається у плоскості ковзання у напрямку, нормальному до напрямку ковзання. Її положення вказується краєм «зайвої» вертикальної на півплощини атомів, які згущаються у верхній половині кристала, як показано на рис.10. Поблизу дислокації кристал сильно деформований. Проста крайова дислокація необмежено простирається у площині ковзання у напрямку, нормальному до напрямку ковзання.

 

 

 

 

Рис. 9. Крайова дислокація у площині ковзання ABCD. В області АВЕГ атоми зміщені більш ніж на половину сталої гратки, в області FECD атоми зміщені менш ніж на половину сталої гратки.

Рис. 10. Структура крайової дислокації. Можна вважати, що деформація викликана появою лишньої атомної площини, яка співпадає на рисунку з верхньою половиною осі У. У верхній половині кристала має місце стиснення, у нижній половині – розтяг

Механізм переміщення дислокації схематично можна проілюструвати на рис.11. Рух крайової дислокації через кристал можна уподібнити переміщенню складки по килиму: складка переміщується легше, ніж увесь килим, і її проходження через килим дасть те ж зміщення, що і ковзання усього килима по підлозі. Коли розташовані по дин бік від площини ковзання атоми переміщуються відносно атомів, розташованих по інший бік, то частина атомів, що знаходяться у площині ковзання, будуть відштовхуватися своїми сусідами по той бік площини ковзання, а частина притягуватися. У першому наближенні ці сили взаємно компенсуються.

Рис.11. Рух дислокації у процесі зсуву; верхня частина зразка зміщується вправо.

 

            Розраховане значення зовнішньої напруги, яка необхідна для руху дислокації, виявилось доволі малим, меншим, ймовірно, ніж 105 дин/см2, при умові, що сили зв’язку у кристалі не сильно направлені. Таким чином, наявність дислокації робить кристал дуже пластичним. Проходження дислокації через кристал еквівалентно зсуву однієї частини кристала відносно іншої.

            Інший простий тип дислокації – це гвинтова дислокація, схематично зображена на рис. 12. Гвинтова дислокація указує межу між зміщеною і незміщеною частинами кристала. Межа на цей випадок розташовується паралельно напрямку ковзання, а не перпендикулярно до нього, як у випадку крайової дислокації. Гвинтову дислокацію можна уявити собі, якщо подумки зробити у кристалі розріз, а потім зсунути частини кристала по обидві сторони розрізу назустріч один одному на одну міжатомну відстань паралельно краю розрізу. Наявність гвинтової дислокації перетворює атомні площини у кристалі в гелікоїдальні поверхні, звідси і виник термін “Гвинтова дислокація».

 

 

 

Рис. 12. Гвинтова дислокація. Ділянка ABEF площини ковзання зміщується у напрямку, паралельному лінії дислокації ЕГ. Гвинтову дислокацію можна представити собі як спіральне розташування атомних площин гратки, так що при кожному повному обході навколо лінії дислокації ми переміщується на одну міжплощинну відстань вздовж лінії дислокації.

 

§9 Вектор Бюргерса

 

Вектор Бюргерса є мірою викривлення кристалічної гратки, обумовленою присутністю в ній дислокації. Він визначає енергію дислокації, сили, що діють на дислокацію, величину

пов’язаного з дислокацією зсуву, впливає на рухливість дислокації. Отже, вектор Бюргерса – головна кількісна характеристика дислокації.

Якщо дислокація уводиться у кристал чистим зсувом - так, як це було показано вище на прикладі крайової і гвинтової дислокації, то вектор зсуву ч є вектором Бюргерса. Вектор зсуву визначає величину і напрямок зміщення атомів в тій області, ще зсув вже виник, тобто визначає ступінь “викривлення гратки”, що пов’язана з присутністю дислокації, уведеної у кристал за допомогою зсуву. Однак дислокація далеко не завжди викликається зсувом. Крім того, не всі типи дислокації можна визначити через вектор зсуву. Тому більш загальним є визначення вектора Бюргера не як вектора зсуву, а як міри викривленості кристалічної гратки.

Щоб оцінити ступінь викривленості гратки, викликаної дислокацією, слід порівняти недосконалий кристал, що містить дислокацію, з досконалим кристалом. Для цього будують так званий контур Бюргера. Контуром Бюргерса називається замкнутий контур довільної форми, побудований в реальному кристалі за допомогою послідовного обходу дефекту від атома до атома в досконалій області кристала.

На рис.13(а) показано побудову контуру Бюргерса навколо крайової дислокації. За початкову точку приймаємо атом А. Будуючи контур, підемо уверх у досконалій області від атома до атома. Коли пройдемо уверх шість міжатомних відстаней, у точці В зупинимось, і підемо вліво; через шість міжатомних відстаней досягнемо точки С і підемо униз (ми могли б по горизонталі справа наліво пройти не шість, а п’ять, сім або вісім міжатомних відстаней). Вниз від точки С, відлічивши шість міжатомних відстаней, попадаємо у точку D, що знаходиться на одному

 

 

Рис. 13. Контур Бюргерса навколо крайової дислокації (а) і еквівалентний контур у досконалому кристалі (б): b –вектор Бюргерса.

 

рівні з точкою А. Щоб замкнути контур на відрізку DA, необхідно пройти не довільне, а чітко визначене число міжатомних відстаней — рівно п’ять. Замкнута лінія ABCD, що з’єднує атоми досконалої області гратки і яка охоплює крайову дислокацію, є контуром Бюргерса.

Проведемо відповідний контур у досконалому кристалі, тобто у кристалі без дислокації (рис.13(б)). Виберемо довільно в якості вихідної точки атом А' і пройдемо уверх від нього шість міжатомних відстаней (до точки В'), потім вліво—шість (до точки С'), вниз—шість (до точки D') і вправо—п’ять міжатомних відстаней, тобто повторимо число і напрямок «кроків», зроблених при побудові контуру ABCD. Пройшовши п’ять міжатомних відстаней вправо від точки D', ми попадаємо в точку Е, а не у вихідну точку А': контур виходить незамкнутим. Вектор b, проведений із точки Е в точку А' і замикаючий контур, є вектором Бюргерса. Нев’язка (розімкнення) контуру A'B'C'D'E у досконалому кристалі обумовлена тим, що у кристалі з дислокацією із-за екстраплощини на стороні ВС, що знаходиться у верхній половині кристала, на один атом більше, ніж на стороні DA, що знаходиться у нижній половині кристала.

Навколо дислокації атоми в досконалій області, де проходить контур Бюргерса ABCD, декілька зміщені, порівняно з розташуванням їх у досконалому кристалі без дислокації. Сума усіх пружних зміщень, що накопичилась при обході по контуру Бюргерса ABCD, і проявляється у вигляді нев’язки, коли відповідний контур будують у досконалому кристалі. Тому вектор Бюргерса, замикаючий у досконалому кристалі контур Бюргерса, є мірою тієї викривленості гратки у недосконалому кристалі, яка викликана дислокацією. Величина вектора Бюргерса не залежить від того, наскільки контур Бюргерса віддалений від дислокації. Чим далі від дислокації ми розташовуємо цей контур, тим менше пружних зміщень атомів у досконалій області, але тим довше контур, і сума усіх пружних зміщень, що накопичилась при його обході, незмінна.

Рис.14 демонструє побудову контуру і вектора Бюргерса для випадку гвинтової дислокації. Контур Бюргерса можна, наприклад, побудувати від вихідної точки А (рис. 14(а)). Пройдемо від неї вліво дев’ять міжатомних відстаней до точки В, шість - до точки С и вправо дев’ять - до точки D. Щоб попасти на рівень вихідної точки А, опустимось від точки D по вертикалі вниз до точки Е на одну міжатомну відстань і пройдемо шість міжатомних відстаней від Е до А.

Для проведення відповідного контуру у досконалому кристалі (рис. 14(б), зробимо дев’ять кроків від вихідної точки А до В, потім шість - до С', дев’ять - до D', один крок униз по вертикалі від D' до Е' і шість кроків - на горизонтальному рівні в сторону вихідної точки. При цьому ми попадаємо не у вихідну точку А', а в точку F. Нев’язку контуру ліквідуємо, замикаючи його вектором Бюргерса b (з’єднуючи точки F і А'). Цей вектор на рис.14(б) характеризує ступінь викривленості гратки, викликаної гвинтовою дислокацією у кристалі на рис.14(а). Доволі зручно, що викривленість гратки

Рис 14. Контур Бюргерса навколо гвинтової дислокації (а) и еквівалентний контур у досконалому кристалі (б).

 

недосконалого кристала виражається через період гратки ідеального кристала тобто через константу.

Легко бачити, що вектори Бюргерса, отримані на рис.13, 14 є векторами зсуву.

Hanpямок вектора Бюргерса залежить від напрямку обходу по контуру Бюргерса. Отже, в понятті вектора Бюргерса міститься невизначеність, відповідна куту у 180 град. Але це не є серйозним недоліком, тому що суть вказаної невизначеності зводиться до того, наприклад, що пробіг крайової дислокації через увесь кристал викликав зсув верхньої половини кристала вліво відносно нижньої, або, що те ж саме, зсув нижньої половини кристала вправо відносно верхньої половини.

Вектор Бюргерса характеризується рядом особливостей:

 

1. Нормальний до лінії крайової дислокації і паралельний лінії гвинтової дислокації.

 

2. У дефектів недислокаційного типу дорівнює нулю. Якщо побудувати контур Бюргерса навколо будь-якого точкового дефекта або лінійного дефекта не дислокаційного типу (навколо ланцюжка атомів або вакансій), то відповідний контур в ідеальному кристалі виявиться замкнутим.

 

3. Однаковий вздовж всієї лінії дислокації, тобто є інваріантом дислокації. Це виходить, наприклад, із того, що при зміщенні контура Бюргерса вздовж лінії дислокації, від увесь час буде залишатись еквівалентним вихідному контуру (при умові, що від усіма своїми точками не виходить із досконалої області гратки, тобто не пересікає інші недосконалості).  Крім того, вектор зсуву, що створює, наприклад, криволінійну змішану дислокацію, має одну величину і один напрямок  для усього кристала.

 

З інваріантності вектора Бюргерса витікає важливий наслідок: дислокація не може обриватися усередині кристала. Допустивши противне, перемістимо контур Бюргерса за передбачувану точку обриву дислокації. Контур залишиться незмінним, тому що увесь час знаходиться в області з досконалою граткою Але якщо йому відповідає колишній вектор Бюргерса, відмінний від нуля, це означає, що усередині контуру Бюргерса увесь час є дислокація, тобто її обрив усередині кристала неможливий дислокація може обриватися тільки на межі кристала. Усередині кристала дислокації можуть утворювати замкнуті петлі з однаковим Бюргерса вздовж усієї петлі або зустрічатись з іншими дислокаціями, утворюючи вузли (точки зустрічі).

 

§10 Щільність дисллокацій

 

Важлива характеристика дислокаційної структури - щільність дислокацій – сумарна довжина усіх ліній дислокації в одиниці об’єму. Густина дислокації:

 

,                                                                               (1)

 

де — сумарна довжина усіх ліній дислокації в кристалі, см; V — об’єм кристала, см3. Щільність дислокацій визначають і як число дислокацій, що пересікають одиницю площі, наприклад, одиницю площі металографічного шліфа. Обидва способи підрахунку густини дислокації у загальному випадку дають різні значення. Густина дислокації залежить від способу і режиму обробки металу.

Напівпровідникові кристали кремнію і германію, навіть масового промислового виробництва, мають порівняно низьку густину дислокації (103—104 см-2).

Від густини дислокації залежить більшість технічних важливих властивостей металів і сплавів. Густина дислокацій, яка може бути різною у різних мікро ділянках матеріалу, впливає на механізм, швидкість і напрямок структурних модифікацій.

 

§11 Пружні властивості дислокацій

Дислокація підвищує енергію кристала. Вона - центр поля внутрішніх напруг, що убувають із збільшенням відстані від дислокації. В ядрі дислокації зміщення атомів настільки великі, що розрахувати енергію тут за допомогою методів теорії пружності не вдається. За межами ядра дислокації деформації описуються лінійними рівняннями теорії пружності, і поле напруг і відповідну енергію легко розрахувати.

Для оцінки енергії гвинтової дислокації уведемо припущення, що у процесі її утворення кристал веде себе як пружне ізотропне тіло. Візьмемо такий досконалий кристал, зробимо у ньому некрізний надріз і зсунемо дві частини цього кристала одну відносно другої по площині надрізу на величину b. Такий зсув виникає під дією дотичних сил і відповідних напруг у площині надрізу. Робота, виконана цими силами для створення зміщення b, дорівнює енергії гвинтової дислокації:

 

                                                               (2)

 

дотична напруга, що викликає зсув на величину b.

В період зсуву напруга лінійно зростає від 0 до . Тому при обчисленні енергії зсуву необхідно брати середню за весь період зсуву величину дотичної напруги, рівну */2. Добуток цієї напруги на площину ds, по якій виникає зсув, дає силу зсуву, а добуток сили зсуву на величину зміщення дає шукану роботу зсуву. Але дотичні напруги на різній відстані від осі дислокації різні (вони убувають із збільшенням цієї відстані). Тому приходиться брати інтеграл дотичних напруг по всій площі зсуву.

 

 

Рис. 15  Циліндрична оболонка навколо гвинтової дислокації, розгорнута у пластину

 

Для розрахунку дотичних напруг використаємо наступний прийом. Подумки підрозділимо кристал на ряд циліндричних шарів із загальною віссю. Візьмемо один такий циліндричний шар (рис.15) з радіусом r і товщиною dr, розріжемо його вздовж утворюючої циліндра з одного боку і змістимо на величину b одну частину цього шару по відношенню до другої. При умові що товщина шару мала, величина сили, що перешкоджає вказаному зміщенню, не зміниться, якщо циліндричний шар розвернути у плоску пластину (рис.15,б).

 

Для малих зсувових деформацій справедливий закон Гука:

(G — модуль зсуву). Ця дотична напруга діє на площинці ds= dr. Тоді

 

 

                                                         (3)

У цьому виразі: G - модуль зсуву; b вектор Бюргерса дислокації; — її довжина; - радіус ядра дислокації (декілька міжатомних відстаней); R — відстань, на яку розповсюджується пружна деформація від дислокації.

Далі скрізь (якщо не буде спеціальних застережень) під энергією дислокації будемо розуміти зв’язану з нею пружну енергію кристала, яка приходиться на одиницю довжини дислокації. Отже

 

.                                            (4)

               Розрахунок енергії крайової дислокації більш складний через те, що полу напруг навколо неї не має циліндричної симетрії, як поле навколо гвинтової дислокації (з одного боку від площини ковзання – розтяг, а з іншого – стискання).

               Енергія крайової дислокації

 

               ,                                        (5)

 

де m - коефіцієнт Пуассона, а інші величини ті ж, що і у формулі (3) . Прийнявши типове для металів значення m=1/3, отримаємо, що енергія крайової дислокації у 1,5 разів більше енергії гвинтової дислокації. Цією різницею у більшості оціночних розрахунків можна знехтувати.

 

               Більшість дислокацій у реальних металах – змішані. Вектор Бюргера змішаної дислокації можна розкласти на крайову і гвинтову компоненти: bкр=bзмsinj, bв=bзмcosj.

 

               Енергія дислокації залежить від відстані R, на яку від неї розповсюджується пружна хвиля. Максимальне значення R обмежено розмірами кристала. Звичайно R приймають рівним половині середньої відстані між сусідніми дислокаціями. Для оціночних розрахунків дуже сприятливо те, что енергія дислокації дуже слабо залежить від величини R в реальних кристалах. Так, наприклад, якщо збільшити R з 1 мкм до 1 см, тобто у 10000 разів, то енергія гвинтової дислокації в кристалі повинна зрости лиш у 2,3 рази.

Цілком природно, що енергія дислокації залежить від вектора Бюргерса, який характеризує ступінь викривленості гратки, і від модуля зсуву, що є характеристикою сил міжатомного зв’язку. Чим більше G, тим сильніше міжатомні сили опираються зміщенням атомів, тобто більше накопичується пружна енергія викривлень гратки.

Різні оцінки показують, що потенційна енергія ядра дислокації по порядку величини не перевищує одну десяту енергії, пов’язаної з пружною деформацією за межами ядра дислокації. Внаслідок невизначеності розрахунків загальну енергію дислокації вважають рівною aGb2. Для різних твердих тіл енергія гвинтових дислокацій звичайно знаходиться у межах від 3 до 10 еВ в розрахунку на одну міжатомну відстань вздовж лінії дислокації.

Збільшення довжини дислокації призводить до зростання її пружної енергії. Тому лінія дислокації веде себе як пружна нитка, що завжди намагається випростатись, щоб скоротити свою довжину. Енергію дислокації, що приходиться на одиницю її довжини, називають лінійним натягом дислокації.

Сила лінійного натягу направлена вздовж лінії дислокації. Вище розглядалась енергія нерухомої дислокації. Поля напруг дислокації, що рухається і нерухомої різні, що пояснюється виникненням інерційних сил від руху елементів тіла, викликаного рухом дислокації.

Рівняння руху дислокації схожі з рівняннями руху частки, що приводяться в теорії відносності. Тут швидкість звуку у даному матеріалі є такою ж граничною швидкістю, як швидкість світла в теорії Ейнштейна. З наближенням швидкості дислокації u до швидкості звуку у кристалі с енергія дислокації нескінченно зростає.

 

Отже, дислокація не  не може рухатися у кристалі швидше звука..

 

Як впливає швидкість руху на енергію дислокації, видно із наступних прикладів. При швидкостях порядка с/10 і менше, енергія дислокації мало відрізняється від енергії спокою. Підвищення швидкості від нуля до  подвоює енергію дислокації.

Надмірна енергія допомагає дислокації переборювати різні перешкоди у гратці реального кристала.

Зміщення атомів у ядрі дислокації і пружні зміщення в полі навколо дислокації за межами цього ядра сильно підвищують енергію кристала U. Разом з тим дислокації збільшують неупорядкованість і відповідно ентропій ний член TS в формулі для вільної енергії (F=U-TS).

Уведення дислокації збільшує число можливих способів розміщення атомів у гратці, тому що дислокація може розташовуватись у кристалі різними способами. Це обумовлює підвищення конфігураційної ентропії. Зостає також коливальна ентропія, тому що поблизу дислокації виявляється зміненою частота коливань атомів.

Зменшення вільної енергії при зростанні ентропії набагато менше, ніж підвищення вільної енергії внаслідок утворення поля пружних напруг при уведенні дислокації у кристал. Тому на відміну від точкових дефектів, які в певному числі (концентрації) є рівноважними для даної температури, дислокації при будь-яких температурах і в будь-якому числі підвищують вільну енергію кристала і завжди є термодинамічно нерівноважними дефектами. На відміну від точкових дефектів, рівноважна концентрація яких зростає з температурою пропорційно фактору Больцмана , кількість дислокацій не залежить від температури. Це пояснюється великим значенням пружної енергії їх утворення.  Флуктуації енергії не здатні створити нову дислокацію; фактор Больцмана туне не відіграє істотної ролі.