V. ТЕПЛОВІ ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ

 

§1 Класична теорія теплоємності твердих тіл. Закон Дюлонга-Пті

 

            Амплітуда коливань атомів ~1-5% від середньої відстані між ними.

            В класичній теорії теплоємності однорідне тверде тіло розглядається як сукупність абсолютно незалежних один від одного часток, що здійснюють коливання з одною і тою ж частотою n. Кожна така частка має 3 ступеня вільності, на кожну з яких приходиться у середньому ½kТ від кінетичної і потенційної енергії (теорема рівно розподілення енергії по ступеням вільності для ідеального газу).

            Тому для N часток

 

.

 

Якщо , то.

Мольна теплоємність дорівнює

 

                закон Дюлонга-Пті (1819р.)

 

R=8,3×103 Дж\К×кмоль,  CV@2,5×104 Дж\К×кмоль.

Для алмазу – аномалія. Для усіх речовин при Т®0 CV®0, тоді як по Дюлонгу-Пті CV=const¹f(T).

 

            Недоліки теорії:

  1. Незалежність коливань атомів.
  2. Атом, що коливається, слід розглядати не як класичний осцилятор, а як квантовий, що має дискретний спектр енергії.

 

Щоб їх подолати треба згадати, що

 

 

§2 Квантова теорія теплоємності твердих тіл. Теорія Ейнштейна

 

Маємо N незалежних квантових осциляторів.

 

*  

 

 - характеристична температура тіла, яка безпосередньо пов’язана з частотою коливання усіх (однакових) квантових осциляторів і тому є константою для даного тіла.

 

Аналіз:

При Т<<Q,  eQ/T>>1

 

 

При Т®0    а     через те, що  убуває значно швидше , то  .

            В області високих температур переходять в закон Дюлонга-Пті.

            Блискуче і якісне описання, але не кількісне в області низьких температур.

 

§3 Теорія Дебая

 

            Коливання N-атомів не є незалежними.

            Припустимо, що тіло ізотропне. В ізотропному твердому тілі можливе розповсюдження поздовжніх звукових хвиль (швидкість яких позначимо ul) і поперечних хвиль з двома незалежними напрямками поляризації (і однаковою швидкістю розповсюдження ut). Частота цих хвиль пов’язана з абсолютною величиною хвильового вектора  лінійним співвідношенням w=ulk   або   w=utk.

Число власних коливань в спектрі звукових хвиль в інтервалі dk і даної поляризації є:

 

,

 

де 2p - площа елементарної комірки у фазовому просторі хвильових векторів і координат, V об’єм тіла.

            Тепер усього в інтервалі dw відбувається наступна кількість коливань:

 

.

 

Уведемо деяку середню швидкість звука :

 

.

Тоді

.

 

Число коливань для системи із 3N ступенів вільності дорівнює 3N, максимальну частоту коливань можна визначити із виразу:

 

звідси

 

де nконцентрація атомів.

 

Енергію dZ коливань, що мають частоти в інтервалі від n до n+dn, отримуємо множенням <E> на dZ:

 

 

Енергія всього тіла:

 

 

 

Тепер зробимо деякі математичні дії:

 

---------------------------------------------------

Ведемо означення

   .

 

Тепер    .

 

Тому що    ,        

 

 

Тепер  маємо

-----------------------------------------------------

 

 

Використовуючи визначення

 

ми маємо змогу провести розрахунки. Для цього треба ви користувати добре відому формулу похідної інтегралу по параметру

 

.

 

Це дає

 

Тепер кінцевий результат виглядає як

 

Формула Дебая

 

Аналіз:

1. Т>>Q            

 

співпадає з Дюлонгом і Пті !

 

2. Т<<Q    Верхню межу інтегрування можна замінити нескінченністю:

 

,

 

При Т®0 другий член швидше наближається до нуля і їм можна знехтувати, тоді

 

.

 

 - величина, постійна для кожного тіла.

CV ~ T 3cпівпадає з експериментом (Рис.1 ).

 

 

Рис. 1

 

§4 Теплове розширення твердого тіла

 

            Розглянемо лінійний ланцюжок однакових атомів масою m, що розташовані на відстані а. Припустимо, що n-ий атом зміщений із положенні рівноваги на відстань un.

Якщо відхилення атомів u мале, то сили взаємодії можна розглядати як квазіупружні, тобто пропорційні відхиленню (закон Гауса).

 

 

Рис. 2

 

Тому при урахування лиш найближчих сусідів сила Fn буде дорівнювати сумі сил, що діють із сторони атомів n-1 та n+1.

 

,

 

де b - коефіцієнт квазіупружньої сили.

Через те, що сила , то для потенційної енергії U:

.

 

Нехтуючи U0 і замінюючи  на , отримаємо:

 

.

 

Це гармонічне наближення!

В ангармонічному наближенні      ,

.

Згідно Больцмана ймовірність відхилення атома від положення рівноваги на величину х дорівнює:

.

 

У цьому випадку відстань між атомами (середнє зміщення), що коливаються:

 

для гармонічних коливань

=0,

тому що у чисельнику інтегрується добуток нечетної функції х та четної  .

Для ангармонічного наближення можна використати розкладення в ряд Тейлора

 

*.

 

Тоді                                                    .

Тепер

 

   .

 

Лінійне теплове розширення визначається формулою

 

,

 

a - визначає подовження на одиницю довжини і на 1 оС.

 

,

 

де а – параметр гратки.