VIІ  КІНЕТИЧНІ ЯВИЩА В МЕТАЛАХ І НАПІВПРОВІДНИКАХ

 

 

§1 Класична теорія провідності металів Друде-Лоренца

 

            Припущення:

1)      електрони підпорядковуються законам Ньютона;

2)      їх розподіл підпорядковується статистиці Максвела-Больцмана.

 

У відсутності зовнішнього електричного поля  електрони хаотично рухаються, що не створює спрямоване перенесення електронів. Після зіткнення з вузлом гратки електричного заряду

 

.

 

В кінці  довжини вільного пробігу <l> отримує швидкість направленого руху:

 

,

де <t> - середній час руху на шляху <l>. Після зіткнення з вузлом гратки <u> обертається в нуль.

            Тому

.

 

Через те, що

, де  - середня швидкість теплового руху це справедливо, тому що ,

.

 

Тепер

 

.

 

Відношення    називається рухливістю.

При середній швидкості  через площинку в 2, яка перпендикулярна потоку в 1с, пройдуть усі електрони, поміщені у паралелепіпеді з ребром, що дорівнює . Об’єм дорівнює 2×, а число електронів у ньому n×,  n – концентрація електронів у металі. Ці електрони перенесуть заряд, який дорівнює n×е×. Тому густина струму

 

 - питома провідність провідника,

 

.

 

У цій формулі    .

  1. Отже маємо, що із зростанням Т
  2.  

 буде зростати ~.

 

Але досвід говорить, що r зростає лінійно! Нонсенс!

 

2. Класична електронна теорія металів суперечить закону Дюлонга і Пті.

 

Якщо електронний газ поводить себе як одноатомний газ, то

 

.

 

Загальна формула:

В дійсності ж

 !

 

§2 Внутрішня енергія і теплоємність електронного газу в металі

 

            З урахуванням дворазового спінового виродження рівнів (на кожному рівні два електрона з протилежними спінами), число квантових станів електрона, що рухається в об’ємі V з абсолютною величиною імпульсу в інтервалі р і р+ dp, дорівнює:

 

.

 

Електрони заповнюють усі стани з імпульсами від нуля до граничного значення р= рF, про це значення говорять як про радіус Фермі – сфери в імпульсному просторі. Повне число електронів в цих станах:

 

 

 

 

            Ця енергія має простий термодинамічний сенс. Функція Фермі

 

 

в граничному значенні T®0 перетворюється в “сходинкову” функцію: одиниця при E<EF і нуль при E>EF. Звідси виходить, що хімічний потенціал співпадає при Т=0 з енергією Фермі

 

 

Повну внутрішню енергію електронного газу отримаємо після помноження числа станів на  та інтегрування за всіма імпульсами,

 

Підставивши сюди вираз для рF :

 

 

Це був випадок для Т=0.

Так як  (~1еВ=104 К).

Теплове збудження впливає тільки на електрони, що лежать  поблизу EF.

Позначимо відстань між рівнями DЕ. Наближено

 

 

Термічному збудженню підлягають електрони смуги kБT, яка розташована нижче рівня Фермі. В цій смузі розташовується  рівнів, на яких розташовуються  електронів. Припускаючи, що за рівень Фермі переходить не більше половини цих електронів, отримуємо

 

.

 

Енергія, яка поглинається всім електронним газом, дорівнює добутку kБT на число електронів DN, що термічно збуджуються

 

,

 

 

 

Для одного кіломолю металу N=NA, NAkБ=R:

 

 

Тоді

 

.

 

Теплоємність одноатомного класичного газу:

 

 

 

Через те, що , то теплоємність електронного газу в металі є дуже малою величиною, що добре узгоджується з експериментом.

 

 

§3 Квантова теорія електропровідності Зоммерфельда

 

            Із-за того, що теплоємність електронного газу дуже мала ~0,01СV порівняно з граткою, тому повна теплоємність дорівнює теплоємності гратки (3R).

            Розрахунок електропровідності був зроблений Зоммерфельдом:

 

,

 

де  - середня довжина вільного пробігу електрона, що володіє енергією Фермі,  - швидкість такого електрона. У цьому випадку  майже не залежить від Т, тому що хімічний потенціал m майже не залежить від Т.

            Квантова теорія розглядає також електрон як частку, що володіє хвильовими функціями, а рух електронів провідності через метал – як процес розповсюдження електронних хвиль, довжина яких визначається співвідношенням де Бройля.

            Інтенсивність хвилі де Бройля змінюється за законом:

 

 (аналогія с розсіюванням світла)

 

х – товщина шару, через який проходить хвиля;

І0 – початкова інтенсивність;

h - коефіцієнт загасання (розсіювання).

            Розрахунок показує, що для електронів провідності

 

.

 

З іншого боку, розрахунок показує

 

,

 

де ЕЮ – модуль пружності Юнга, d параметр гратки,

 

,

тому

 

.

Отже маємо залежність

 

r~Т,

 

яка збігається з експериментом !!!

 

§4 Ефективна маса носіїв заряду в напівпровідниках

 

            Різниця між металами, напівпровідниками і діелектриками полягає у ширині забороненої зони і у величині заповнення самої верхньої зони електронами.

            При  (тобто при тепловому збудженні) цілком заповнена валентна зона, втративши частину електронів (), перетворюється в зону, укомплектовану частково. А заборонена зона тепер частково укомплектована. З появою таких частково укомплектованих зон тіло стає провідником.

            Електрони, які частково заповнюють заборонену зону, є від`ємними носіями струму. У валентній зоні утворюються дірки, які поводять себе у зовнішньому полі як частки з позитивними зарядом. Тому у власних напівпровідниках розрізняють електронну (від`ємну) і діркову (позитивну) провідність напівпровідників.

 

Електрони провідності і дірки–квазічастинки. Визначення квазічастинок через поняття ефективної маси носіїв заряду.

 

            Припустимо, що вільний електрон з масою m0 знаходиться у однорідному електричному полі , яке імітує поле гратки. На електрон діє сила , тоді

 

,

 

причому  направлене проти поля .

            З іншого боку

Через те, що

         ,

де kхвильовий вектор. Тут електрон розглядається як хвильовий пакет і

 

.

Підставляючи це, отримаємо

 

.

 

Підсумовуючи це для тримірного випадку, коли , маємо

 

 

 

.

 

У цьому випадку вектор прискорення  не співпадає по напрямку з вектором сили .

            Сукупність величин

 

,

що зв’язують вектори  і , є тензором другого рангу.

 

 - розмірність маси.

Через те, що величина  може бути будь-якою, то

 

.

 

І тільки для вільних електронів, коли

,

.

 

Отже маємо, що !

            Якщо електрони знаходяться поблизу мінімуму енергії, тобто у межах дна зони провідності,

 

  і  m*=const>0,

 

тобто електрони поводять себе як від’ємно заряджені частки з позитивною ефективною масою.

                                                              - для кристала кубічної симетрії.

 

Із цього виходить, що дія поля гратки проявляється у тому, що при наявності зовнішньої сили рух електрона визначається не його звичайною масою m0, а ефективною масою m*.

Електрон Þ квазіелектрон.

Ефективна маса обернено пропорційна Еg, ефективна маса дірки більша ефективної маси електрона

.

            Дірка і електрон провідності відрізняються не тільки знаком свого заряду, але вони мають і різні ефективні маси.